YES Termination Proof

Termination Proof

by ttt2 (version ttt2 1.15)

Input

The rewrite relation of the following TRS is considered.

a(b(x0))	→	c(b(x0))
c(c(x0))	→	d(b(x0))
d(x0)	→	c(e(x0))
b(b(x0))	→	f(x0)
c(b(x0))	→	g(x0)
e(x0)	→	f(x0)
e(x0)	→	b(b(x0))
f(g(x0))	→	a(c(x0))
g(f(x0))	→	e(x0)
a(x0)	→	b(c(x0))

Proof

1 Dependency Pair Transformation

The following set of initial dependency pairs has been identified.

a^#(b(x0))	→	c^#(b(x0))
c^#(c(x0))	→	b^#(x0)
c^#(c(x0))	→	d^#(b(x0))
d^#(x0)	→	e^#(x0)
d^#(x0)	→	c^#(e(x0))
b^#(b(x0))	→	f^#(x0)
c^#(b(x0))	→	g^#(x0)
e^#(x0)	→	f^#(x0)
e^#(x0)	→	b^#(x0)
e^#(x0)	→	b^#(b(x0))
f^#(g(x0))	→	c^#(x0)
f^#(g(x0))	→	a^#(c(x0))
g^#(f(x0))	→	e^#(x0)
a^#(x0)	→	c^#(x0)
a^#(x0)	→	b^#(c(x0))

1.1 Reduction Pair Processor with Usable Rules

Using the linear polynomial interpretation over (4 x 4)-matrices with strict dimension 1 over the arctic semiring over the integers

[e(x₁)]

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

· x₁ +

-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞

[c^#(x₁)]

0	0	0	0
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

[a(x₁)]

1	1	1
1	0	1
1	0	1
1	0	1

· x₁ +

-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞

[d(x₁)]

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
1	1	1	1

· x₁ +

0	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞
1	-∞	-∞	-∞

[f(x₁)]

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	-∞	0
0	0	0	0

· x₁ +

0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞

[d^#(x₁)]

0	0	0	0
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

[b(x₁)]

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

· x₁ +

-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞

[a^#(x₁)]

0	0	0	0
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

[f^#(x₁)]

0	0	0	0
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

[e^#(x₁)]

0	0	0	0
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

[b^#(x₁)]

-∞	0	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

[g^#(x₁)]

0	0	0	0
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

[g(x₁)]

0	0	0	0
0	-∞	0	0
-∞	0	0	-∞
1	1	1	1

· x₁ +

0	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
1	-∞	-∞	-∞

[c(x₁)]

0	-∞	0
-∞	-∞	-∞
0	0	0
1	0	1

· x₁ +

-∞	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

together with the usable rules

a(b(x0))	→	c(b(x0))
c(c(x0))	→	d(b(x0))
d(x0)	→	c(e(x0))
b(b(x0))	→	f(x0)
c(b(x0))	→	g(x0)
e(x0)	→	f(x0)
e(x0)	→	b(b(x0))
f(g(x0))	→	a(c(x0))
g(f(x0))	→	e(x0)
a(x0)	→	b(c(x0))

(w.r.t. the implicit argument filter of the reduction pair), the pairs

a^#(b(x0))	→	c^#(b(x0))
c^#(c(x0))	→	b^#(x0)
c^#(c(x0))	→	d^#(b(x0))
d^#(x0)	→	e^#(x0)
d^#(x0)	→	c^#(e(x0))
b^#(b(x0))	→	f^#(x0)
c^#(b(x0))	→	g^#(x0)
e^#(x0)	→	f^#(x0)
e^#(x0)	→	b^#(x0)
e^#(x0)	→	b^#(b(x0))
f^#(g(x0))	→	a^#(c(x0))
g^#(f(x0))	→	e^#(x0)
a^#(x0)	→	c^#(x0)
a^#(x0)	→	b^#(c(x0))

remain.

1.1.1 Reduction Pair Processor with Usable Rules

Using the linear polynomial interpretation over (2 x 2)-matrices with strict dimension 1 over the arctic semiring over the integers

[e(x₁)]

0	-∞
1	0

· x₁ +

2	-∞
0	-∞

[c^#(x₁)]

-∞	1
-∞	-∞

· x₁ +

2	-∞
-∞	-∞

[a(x₁)]

0	0
1	1

· x₁ +

2	-∞
3	-∞

[d(x₁)]

1	0
1	0

· x₁ +

2	-∞
3	-∞

[f(x₁)]

0	-∞
1	0

· x₁ +

-∞	-∞
-∞	-∞

[d^#(x₁)]

2	1
-∞	-∞

· x₁ +

2	-∞
-∞	-∞

[b(x₁)]

0	-∞
1	0

· x₁ +

-∞	-∞
-∞	-∞

[a^#(x₁)]

1	1
-∞	-∞

· x₁ +

2	-∞
-∞	-∞

[f^#(x₁)]

1	0
-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞
-∞	-∞

[e^#(x₁)]

1	0
-∞	-∞

· x₁ +

2	-∞
-∞	-∞

[b^#(x₁)]

0	0
-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞
-∞	-∞

[g^#(x₁)]

2	0
-∞	-∞

· x₁ +

2	-∞
-∞	-∞

[g(x₁)]

1	0
0	0

· x₁ +

2	-∞
1	-∞

[c(x₁)]

0	0
1	0

· x₁ +

2	-∞
1	-∞

together with the usable rules

a(b(x0))	→	c(b(x0))
c(c(x0))	→	d(b(x0))
d(x0)	→	c(e(x0))
b(b(x0))	→	f(x0)
c(b(x0))	→	g(x0)
e(x0)	→	f(x0)
e(x0)	→	b(b(x0))
f(g(x0))	→	a(c(x0))
g(f(x0))	→	e(x0)
a(x0)	→	b(c(x0))

(w.r.t. the implicit argument filter of the reduction pair), the pairs

a^#(b(x0))	→	c^#(b(x0))
c^#(c(x0))	→	d^#(b(x0))
d^#(x0)	→	e^#(x0)
d^#(x0)	→	c^#(e(x0))
b^#(b(x0))	→	f^#(x0)
c^#(b(x0))	→	g^#(x0)
e^#(x0)	→	f^#(x0)
e^#(x0)	→	b^#(x0)
e^#(x0)	→	b^#(b(x0))
f^#(g(x0))	→	a^#(c(x0))
g^#(f(x0))	→	e^#(x0)
a^#(x0)	→	c^#(x0)
a^#(x0)	→	b^#(c(x0))

remain.

1.1.1.1 Reduction Pair Processor with Usable Rules

Using the linear polynomial interpretation over (2 x 2)-matrices with strict dimension 1 over the arctic semiring over the integers

[e(x₁)]

0	-∞
1	0

· x₁ +

0	-∞
1	-∞

[c^#(x₁)]

0	0
-∞	-∞

· x₁ +

-∞	-∞
-∞	-∞

[a(x₁)]

0	0
1	1

· x₁ +

0	-∞
2	-∞

[d(x₁)]

1	0
1	0

· x₁ +

1	-∞
1	-∞

[f(x₁)]

0	-∞
1	0

· x₁ +

0	-∞
1	-∞

[d^#(x₁)]

1	0
-∞	-∞

· x₁ +

1	-∞
-∞	-∞

[b(x₁)]

0	-∞
1	0

· x₁ +

0	-∞
1	-∞

[a^#(x₁)]

1	1
-∞	-∞

· x₁ +

1	-∞
-∞	-∞

[f^#(x₁)]

1	0
-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞
-∞	-∞

[e^#(x₁)]

1	0
-∞	-∞

· x₁ +

1	-∞
-∞	-∞

[b^#(x₁)]

-∞	0
-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞
-∞	-∞

[g^#(x₁)]

0	0
-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞
-∞	-∞

[g(x₁)]

1	0
-∞	0

· x₁ +

1	-∞
-∞	-∞

[c(x₁)]

0	0
1	0

· x₁ +

0	-∞
1	-∞

together with the usable rules

a(b(x0))	→	c(b(x0))
c(c(x0))	→	d(b(x0))
d(x0)	→	c(e(x0))
b(b(x0))	→	f(x0)
c(b(x0))	→	g(x0)
e(x0)	→	f(x0)
e(x0)	→	b(b(x0))
f(g(x0))	→	a(c(x0))
g(f(x0))	→	e(x0)
a(x0)	→	b(c(x0))

(w.r.t. the implicit argument filter of the reduction pair), the pairs

c^#(c(x0))	→	d^#(b(x0))
d^#(x0)	→	e^#(x0)
d^#(x0)	→	c^#(e(x0))
b^#(b(x0))	→	f^#(x0)
c^#(b(x0))	→	g^#(x0)
e^#(x0)	→	f^#(x0)
e^#(x0)	→	b^#(x0)
e^#(x0)	→	b^#(b(x0))
f^#(g(x0))	→	a^#(c(x0))
g^#(f(x0))	→	e^#(x0)
a^#(x0)	→	b^#(c(x0))

remain.

1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 2 components.

The 1^st component contains the pairs

d^#(x0)	→	c^#(e(x0))
c^#(c(x0))	→	d^#(b(x0))

1.1.1.1.1.1 Reduction Pair Processor with Usable Rules

Using the linear polynomial interpretation over (3 x 3)-matrices with strict dimension 1 over the arctic semiring over the integers

[e(x₁)]

0	-∞	0
0	-∞	0
0	-∞	0

· x₁ +

0	-∞	-∞
0	-∞	-∞
0	-∞	-∞

[c^#(x₁)]

0	0	0
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞

[a(x₁)]

0	-∞	1
0	-∞	1
0	-∞	1

· x₁ +

0	-∞	-∞
1	-∞	-∞
0	-∞	-∞

[d(x₁)]

1	1	1
1	1	1
0	0	0

· x₁ +

1	-∞	-∞
1	-∞	-∞
0	-∞	-∞

[f(x₁)]

0	-∞	0
0	-∞	0
0	-∞	0

· x₁ +

0	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞

[d^#(x₁)]

1	1	1
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞

· x₁ +

1	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞

[b(x₁)]

0	-∞	0
0	-∞	0
0	-∞	0

· x₁ +

-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞

[g(x₁)]

1	-∞	1
0	-∞	0
0	-∞	0

· x₁ +

1	-∞	-∞
0	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞

[c(x₁)]

-∞	-∞	1
1	0	0
0	-∞	0

· x₁ +

0	-∞	-∞
1	-∞	-∞
0	-∞	-∞

together with the usable rules

a(b(x0))	→	c(b(x0))
c(c(x0))	→	d(b(x0))
d(x0)	→	c(e(x0))
b(b(x0))	→	f(x0)
c(b(x0))	→	g(x0)
e(x0)	→	f(x0)
e(x0)	→	b(b(x0))
f(g(x0))	→	a(c(x0))
g(f(x0))	→	e(x0)
a(x0)	→	b(c(x0))

(w.r.t. the implicit argument filter of the reduction pair), the pair

c^#(c(x0))

→

d^#(b(x0))

remains.

1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 0 components.

The 2^nd component contains the pairs

b^#(b(x0))	→	f^#(x0)
f^#(g(x0))	→	a^#(c(x0))
a^#(x0)	→	b^#(c(x0))

1.1.1.1.1.2 Reduction Pair Processor with Usable Rules

Using the linear polynomial interpretation over (4 x 4)-matrices with strict dimension 1 over the arctic semiring over the integers

[e(x₁)]

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

· x₁ +

-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞

[a(x₁)]

0	0	1	1
0	0	0	1
0	0	0	1
0	0	0	1

· x₁ +

-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞

[d(x₁)]

1	1	1	1
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

· x₁ +

1	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞

[f(x₁)]

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

· x₁ +

-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞

[b(x₁)]

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

· x₁ +

-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞

[a^#(x₁)]

-∞	0	0	0
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

[f^#(x₁)]

0	-∞	0	0
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

· x₁ +

-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

[b^#(x₁)]

-∞	-∞	0	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

· x₁ +

0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

[g(x₁)]

1	1	1	1
0	-∞	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

· x₁ +

1	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞

[c(x₁)]

0	0	1
0	-∞	0
-∞	0	0
0	0	0

· x₁ +

0	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
-∞	-∞	-∞	-∞
0	-∞	-∞	-∞

together with the usable rules

a(b(x0))	→	c(b(x0))
c(c(x0))	→	d(b(x0))
d(x0)	→	c(e(x0))
b(b(x0))	→	f(x0)
c(b(x0))	→	g(x0)
e(x0)	→	f(x0)
e(x0)	→	b(b(x0))
f(g(x0))	→	a(c(x0))
g(f(x0))	→	e(x0)
a(x0)	→	b(c(x0))

(w.r.t. the implicit argument filter of the reduction pair), the pairs

b^#(b(x0))	→	f^#(x0)
a^#(x0)	→	b^#(c(x0))

remain.

1.1.1.1.1.2.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 0 components.